การให้เหตุผล คือ การอ้างหลักฐานเพื่อยืนยันว่าข้อสรุปนั้นเป็นความจริง ซึ่งการให้เหตุผลในแต่ละครั้งจะมีส่วนประกอบอยู่  2 ส่วน คือ
          1. ส่วนที่เป็นข้ออ้าง (หลักฐานหรือเหตุผล)
          2. ส่วนที่เป็นข้อสรุป (ผล หรือ สิ่งที่เราต้องการบอกว่าเป็นจริง)

      ในการอ้างเหตุผลแต่ละครั้งอาจจะเขียนข้อสรุปขึ้นก่อนข้ออ้าง  หรือจะเขียนข้ออ้างขึ้นก่อนข้อสรุปก็ได้

ประเภทของการให้เหตุผล โดยทั่วไปมีอยู่ 2 ประเภท 

      1. การให้เหตุผลแบบอุปมัย

            เป็นการให้เหตุผลโดยอ้างหลักฐานจากประสบการณ์ นั่นคือการที่เชื่อว่าสิ่งนั้นๆ เป็นจริง  ก็เพราะเคยมีประสบการณ์มาก่อน  เมื่อมีประสบการณ์แบบเดียวกันหลายๆ ครั้ง  จึงสรุปว่าเป็นกฎหรือเป็นความจริงทั่วๆ ไป เกี่ยวกับสิ่งนั้น  แต่การสรุปความจริงด้วยวิธีการอุปมัยนี้ต้องระมัดระวังเป็นอย่างมาก  เพราะอาจเกิดผิดพลาดได้ง่าย

      2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย
            เป็นการให้เหตุผลโดยนำเอาความจริงจากความรู้เดิม  มาพิจารณาตามหลักเหตุผล  แล้วสรุปความจริงใหม่ออกมา  โดยไม่ต้องอาศัยการทดลอง  หรือการสังเกตจากประสบการณ์

            ข้อสรุปที่สมเหตุสมผล หมายถึงข้อสรุปที่เป็นจริงและสอดคล้องกับเหตุ  โดยที่เหตุจะต้องเป็นจริงทุกข้อ  ดังนั้นในการตรวจสอบว่าข้อสรุปใด "สมเหตุสมผล" หรือไม่  จะต้องเริ่มจาก "เหตุที่เป็นจริงทุกข้อ"  แล้วใช้เหตุที่เป็นจริงแต่ละข้อตรวจสอบว่า "ข้อสรุป" เป็นจริงหรือไม่  ถ้าตรวจสอบแล้วพบว่าข้อสรุปเป็นจริงเสมอ  จะได้ว่า "ข้อสรุปนั้นสมเหตุสมผล"  ถ้าตรวจสอบแล้วพบว่า "ข้อสรุปนั้นเป็นเท็จ" หรือเป็นเท็จบางครั้ง  จะได้ข้อสรุปว่า "ไม่สมเหตสมผล"

ตัวอย่างที่ 1  จงตรวจสอบว่าการให้เหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

      เหตุ       1. p -> q
                    2. ~p ->r
                    3. ~q

      ผล         r

      วิธีทำ  ตรวจสอบว่า [(p -> q) ^ (~p ->r) ^ (~q)] -> r  เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

      วิธีที่ 1 สร้างตารางค่าความจริง

      แสดงว่า [(p -> q) ^ (~p ->r) ^ (~q)] -> r  เป็นสัจนิรันดร์

วิธีที่ 2 พิจารณาค่าความจริงบางกรณี

      ให้  [(p -> q) ^ (~p ->r) ^ (~q)] มีค่าความจริงเป็นจริง 
      จะได้  (p -> q) (เป็นจริง) ^ (~p ->r) (เป็นจริง) ^ (~q) (เป็นจริง)
      ซึ่งทำให้ได้ว่า q มีค่าความจริงเป็นเท็จ

      เนื่องจาก  p -> q ≡ T  และ q ≡ F
      ดังนั้น p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
      เนื่องจาก  ~p -> r ≡ T และ p ≡ F

      ดังนั้น r มีค่าความจริงเป็นจริง
      จึงสรุปได้ว่า การให้เหตุผลนี้ สมเหตุสมผล

      การอ้างเหตุลผที่สมเหตุสมผลนั้น อาศัยสัจนิรันดร์เป็นหลัก โดยนิยมเขียนในรูปของการให้เหตุผล ดังต่อไปนี้

1. การแจงผลตามเหตุ
2. การแจงผลค้านเหตุ
3. กฎของตรรกบท
4. ตรรกบทแบบคัดออก
5. การอนุมานร่วม
6. การอนุมานโดยกรณี
7. กฎของการทำให้ง่าย
8. กฎของข้อความแย้งสลับที่

ตัวอย่างการให้หตุผลตามรูปแบบต่างๆ

      1. การแจงผลตามเหตุ
          ถ้า a เป็นจำนวนคู่  แล้ว a²  เป็นจำนวนคู่
          a เป็นจำนวนคู่
          ดังนั้น   a เป็นจำนวนคู่

      2. การแจงผลค้านเหตุ
          ถ้า a เป็นจำนวนเฉพาะ  แล้ว a เป็นจำนวนเต็ม
          a ไม่เป็นจำนวนเต็ม
          ดังนั้น a ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

      3. กฎของตรรกบท
          ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม  แล้ว a เป็นจำวนตรรกยะ
          a  เป็นจำนวนตรรกยะ  แล้ว a เป็นจำนวนจริง
          ดังนั้น   ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a เป็นจำนวนจริง

      4. ตรรกบทแบบคัดออก
          ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม  หรือ a เป็นจำนวนอตรรกยะ
          a  ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ         
          ดังนั้น  a เป็นจำนวนอตรรกยะ

      5. การอนุมานร่วม
          a เป็นจำนวนเต็ม                  
          a  มากกว่า b            
          ดังนั้น a เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า b

      6. การอนุมานโดยกรณี
          ถ้า a เป็นจำนวนคู่  แล้ว a² + a  เป็นจำนวนคู่
          ถ้า a  เป็นจำนวนคี่  แล้ว เป็นจำนวนคู่
          ดังนั้น ถ้า a เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ แล้ว a2 + a  เป็นจำนวนคู่
          นั่นคือ  ถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a2 + a  เป็นจำนวนคู่

      7. กฎของการทำให้ง่าย
          a เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นบวก              
          ดังนั้น a เป็นจำนวนเฉพาะ

      8. กฎของข้อความแย้งสลับที่
          ถ้า abc เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แล้ว abc เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
          ดังนั้น   ถ้า abc ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว  แล้ว abc ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ตัวอย่างที่ 2  จงตรวจสอบว่า การให้เหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

      เหตุ     1. ถ้าฝนตกแล้วอากาศจะเย็น
                 2. ถ้ามีอากาศเย็นแล้วมีลมแรง
                 3. ฝนตก
      ผล     มีลมแรง

วิธีทำ   ให้  p  แทนข้อความ ฝนตก
                   q  แทนข้อความ อากาศเย็น
                   r   แทนข้อความ มีลมแรง

      ดังนั้น  เหตุ คือ  1. p -> q
                                 2. q -> r
                                 3. p
                    ผล        r

      จากการพิจารณารูปแบบข้างต้น เราจะสามารถสรุปได้ว่า  การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล  เนื่องจากสอดคล้องกับรูปแบบที่ 3 กับ 1 กล่าวคือ

      ดังนั้น เหตุ คือ  1. p -> q       กำหนดให้
                                2. q -> r        กำหนดให้
                                3. p -> r        1, 2 และรูปแบบ 3
                                4. p                กำหนดให้
                    ผล       r                     3, 4 และรูปแบบ 1

http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/466-4+การให้เหตุผล?groupid=134